Lập bảng biến thiên hàm số là dạng bài tập chắc chắn sẽ gặp trong các bài kiểm tra, bài thi của môn Toán. Các học sinh không những nắm vững lý thuyết mà còn cần vững phần thực hành, sử dụng vào các bài tập một cách thuần thục. Nội dung sau đây sẽ nêu lên cách lập bảng biến thiên & khảo sát hàm số bất kì qua các bước rõ ràng. Hãy cùng tìm hiểu và khám phá.
Bạn đang xem bài viết: Hướng dẫn cách lập bảng biến thiên nhanh, chính xác
Table of Contents
Lý thuyết lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Hầu hết ở các bài tập căn bản về lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số luôn có những phương pháp làm bài và các bước khảo sát chung có thể ứng dụng cho các bài tập vẽ đồ thị hàm số khác.
Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = f(x):
Bước 1: Tìm tập nắm rõ ràng của hàm số y = f(x)
Bước 2: khảo sát sự biến thiên của đồ thị hàm số:
Xem thêm: Cách bấm máy tính nguyên hàm 580VN Plus, 570VN plus
+ Xét sự biến thiên của hàm số:
- Tính đạo hàm bậc nhất của f′(x)
- Tìm các điểm mà tại điểm đấy f′(x) = 0 hoặc không xác định
- Xét dấu đạo hàm của f′(x). Từ đó suy ra được chiều biến thiên của hàm số.
+ Tìm cực trị ( cực đại, cực tiểu ) của hàm số đó
+ Tìm các giới hạn tại vô cực y , y , các giới hạn cho ra kết quả vô cực (= ± ∞) và tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số ( nếu có )
Bước 3: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x)
+ nắm rõ ràng các điểm trên trục sao cho giao với Ox, Oy có tọa độ nguyên
+ Chỉ ra tâm đối xứng và trục đối xứng ( nếu như có )
+ Thể hiện rõ trên đồ thị hàm số các điểm giao của đồ thị với các trục, các điểm cực trị và các đường tiệm cận ( nếu như có )
Lưu ý:
+ nếu như đồ thị hàm số lẻ sẽ nhận gốc tọa độ O ( 0; 0) làm tâm đối xứng
+ nếu như đồ thị hàm số chẵn sẽ nhận trục Oy làm trục đối xứng
+ Đồi thị hàm số bậc nhất và đồ thị hàm số phân thức bậc nhất sẽ nhận giao của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng
+ Điểm I (x0, f(x0) ), trong số đó x0 là nghiệm phương trình f′′( x0 ) = 0 là tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc ba
Một số dạng đồ thị thường gặp
- Đồ thị hàm số bậc ba: y = ax3 + bx2 + cx + d (a≠0)
Lưu ý: nếu ac < 0 thì đồ thị của hàm số có 2 điểm cực trị nằm ở 2 phía so với trục tung Oy.
- Đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương: y = ax4 + bx2 +c ( a ≠s 0)
- Đồ thị hàm số bậc nhất/ phân thức bậc nhất: y = ax+ bcx+ d ( c ≠ 0, ad – bc ≠ 0)
Sự tương giao của các đồ thị hàm số
Cho hai đồ thị y = f(x) (C1) và y = g(x) (C2)
Ta có phương trình hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) là:
f(x) = g(x) (1)
trường hợp 1: nếu (1) vô nghiệm thì (C1) và (C2) sẽ không có điểm chung. Tức là Hai đồ thị hàm số này không cắt nhau và vẫn chưa có sự tương giao với nhau.
hoàn cảnh 2: nếu như (1) có n nghiệm phân biệt thì hai đồ thị hàm số thì (C1) và (C2) sẽ giao nhau tại n điểm phân biệt, trong số đó nghiệm của phương trình (1) sẽ là các hoành độ giao điểm.
Lưu ý:
+ Hai đồ thị hàm số (C1) tiếp cận với (C2) khi và chỉ khi f(x) = g(x)
f′(x) = g′(x)
có nghiệm. Nghiệm của hệ phương trình này chính là hoành độ tiếp điểm của hai đồ thị trên.
+ Đường thẳng (d): y = mx + n tiếp cận với parabol y = ax2 + bx + cy ( a≠0a≠0 ) khi và chỉ khi ax2 + bx +c = mx + n có nghiệm
2ax + b = m
Và phương trình ax2 + bx + c = mx + nax2 + bx + c = mx + n có nghiệm kép.
Một số kiến thức nâng cao thường gặp
Cho đồ thị hàm số (C): y = f(x). Với a > 0, ta có:
- Hàm số y = f(x) + a có đồ thị hàm số ( C’) tịnh tiến theo đồ thị (C) theo phương trục tung Oy lên trên a cơ quan
- Hàm số y = f(x) – a có đồ thị hàm số ( C’) tịnh tiến theo đồ thị (C) theo phương trục tung Oy phía dưới a đơn vị
- Hàm số y = f( x + a ) có đồ thị hàm số ( C’) tịnh tiến theo đồ thị (C) theo phương trục hoành Ox sang bên trái a đơn vị
- Hàm số y = f( x – a ) có đồ thị hàm số ( C’) tịnh tiến theo đồ thị (C) theo phương trục hoành Ox sang bên phải a cơ quan
- Hàm số y = f (-x) có đồ thị hàm số ( C’ ) đối xứng với đồ thị (C) qua trục tung Oy
- Hàm số y = – f (x) có đồ thị hàm số ( C’ ) đối xứng với đồ thị (C) qua trục hoành Ox
- Hàm số y = f(|x|) = f (x) khi x > 0 có (C’) bằng cách:
f ( – x ) khi < hoặc = 0
Giữ nguyên phần bên phải trục Oy và bỏ phần bên trái trục Oy của đồ thị hàm số (C). Sau đó lấy đối xứng phần bên phải trục Oy của đồ thị (C) qua Oy.
Cách lập bảng biến thiên lớp 10 hàm số bậc nhất
Công thức giải
Để vẽ đường parabol y = ax2 + bx + c ta thực hiện các bước như sau:
– nắm rõ ràng toạ độ đỉnh
– nắm rõ ràng trục đối xứng x = (-b)/(2a) và hướng bề lõm của parabol.
– nắm rõ ràng một vài điểm rõ ràng của parabol (chẳng hạn, giao điểm của parabol với các trục toạ độ và các điểm đối xứng với chúng qua trục trục đối xứng).
– Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để vẽ parabol.
Các ví dụ minh họa.
VD 1: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau
a) y = x2 + 3x + 2 b) y = -x2 + 2√2.x
Hướng dẫn:
a) Ta có
Suy ra đồ thị hàm số y = x2 + 3x + 2 có đỉnh là
đi qua các điểm A (-2; 0), B(-1; 0), C(0; 2), D (-3; 2)
Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = (-3)/2 làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên
b) y = -x2 + 2√2.x
Ta có:
Suy ra đồ thị hàm số y = -x2 + 2√2.x có đỉnh là I(√2; 2) đi qua các điểm O (0; 0), B (2√2; 0)
Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = √2 làm trục đối xứng và hướng bề lõm xuống dưới.
VD 2: Cho hàm số y = x2 – 6x + 8
a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số trên
b) sử dụng đồ thị để biện luận theo tham số m số điểm chung của đường thẳng y = m và đồ thị hàm số trên
c) sử dụng đồ thị, hãy nêu các khoảng trên đó hàm số chỉ nhận giá trị dương
d) dùng đồ thị, hãy tìm giá trị khổng lồ nhất, nhỏ nhất của hàm số đã cho trên [-1; 5]
Hướng dẫn:
a) y = x2 – 6x + 8
Ta có:
Suy ra đồ thị hàm số y = x2 – 6x + 8 có đỉnh là I (3; -1), đi qua các điểm A (2; 0), B(4; 0).
Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = 3 làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên.
b) Đường thẳng y = m song song hoặc trùng với trục hoành do đó phụ thuộc vào đồ thị ta có
Với m < -1 đường thẳng y = m và parabol y = x2 – 6x + 8 không cắt nhau.
Với m = -1 đường thẳng y = m và parabol y = x2 – 6x + 8 cắt nhau tại một điểm (tiếp xúc).
Với m > -1 đường thẳng y = m và parabol y = x2 – 6x + 8 cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
Cách lập bảng biến thiên hàm số bậc 2
VD 1: thăm dò hàm số y = x3 + 3×2 – 4.
Tìm tập xác định
Tập xác định: D=R
Tìm nghiệm của hàm số
1.2.1. Cách giải phương trình bậc hai
Để tìm nghiệm của hàm số, cần nắm cách giải phương trình bậc hai như sau:
- Phương trình bậc hai là phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0
- Với a ≠0
- a,b,c là các hằng số
- x là ẩn số
- Cách giải phương trình bậc hai:
- Định lý Vi-et thuận về nghiệm của phương trình bậc 2
Hai số x1, x2 là nghiệm của phương trình ax2 + bx = c = 0 khi và chỉ khi
- Định lý Viet đảo về nghiệm của phương trình bậc 2
nếu như có 2 số u, v có u + v = S và u.v = P thì u và v là nghiệm của phương trình:
X2 – SX + P = 0.
1.2.2. Tìm nghiệm của hàm số theo hệ trục tọa độ: trục Ox, Oy
y’ = 3×2 + 6x
y’ = 0
⬄ 3×2 + 6x = 0
⬄ x(3x + 6) = 0
⬄ x = 0 và x = -2
Giao điểm với Ox: y = 0 => x = -2; x = 1
Giao điểm với Oy: x = 0 => y = -4
Giới hạn :
Bảng biến thiên
1.3.1. Lý thuyết về bảng biến thiên
- Định nghĩa: Kí hiệu K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn
- Hàm số f(x) được gọi là đồng biến trên K, nếu với mọi cặp x1, x2 ϵ K mà x1 < x2 thì f(x1) < f(x2)
- Hàm số f(x) được gọi là nghịch biến trên K, nếu với mọi cặp x1, x2 ϵ K mà x1 < x2 thì f(x1) > f(x2)
- Hàm số f(x) đồng biến (nghịch biến) trên K còn gọi là tăng (hay giảm ) trên K. Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K còn gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.
- Định lý
Cho hàm số y = f(x) nắm rõ ràng và có đạo hàm trên K
Định lý về dấu tam thức bậc hai
1.3.2. Lập bảng biến thiên để tìm các điểm của đồ thị hàm số
Điểm cực đại: x = -2, y = 0
Điểm cực tiểu: x = 0, y = -4
Đạo hàm cấp 2: y’’ = 6x + 6
y’’ = 0 ⬄ 6x + 6 = 0 ⬄ x=1
Điểm uốn I (1;-2)
Ví dụ về bài tập lập bảng biến thiên
Bài 1. Bảng biến thiên trong hình vẽ là của hàm số nào?
A. Y=x–42x+2.
B. Y=–2x–4x+1.
C. Y=–2x+3x+1.
D. Y=2–xx+1.
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x=−1 và tiệm cận ngang y=−2 (loại A và D).
Mặt khác, hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng xác định của nó.
Xét hàm số y=–2x–4x+1. Ta có y′=2(x+1)2>0. Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định của nó (loại B).
Xét hàm số y=–2x+3x+1 có y′=–5(x+1)2<0.
Hàm số này nghịch biến trên các khoảng nắm rõ ràng của nó.
Chọn đáp án C.
Bài 2. Bảng biến thiên sau là bảng biến thiên của hàm số nào sau đây ?
A. Y=x3–3×2–1.
B. Y=–x3+3×2–2.
C. Y=–x3+3×2–1.
D. Y=–x3–3x–2.
Bảng biến thiên của hàm số bậc ba có hệ số a<0 và đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm A(0;−2) (loại A và C).
Hàm số có hai điểm cực trị nên b2–3ac>0 (loại D).
Chọn đáp án B.
Bài 3. Bảng biến thiên sau Nó là của hàm số nào?
A. Y=x+12x–1.
B. Y=2x–1x+1.
C. Y=2x+3x+1.
D. Y=2x–1x–1.
phụ thuộc vào bảng biến thiên, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x=−1, tiệm cận ngang y=2 (loại A và D).
Xét hàm số y=2x+3x+1 ⇒y′=–1(x+1)2<0. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định (loại C).
Xét hàm số y=2x–1x+1 ⇒y′=3(x+1)2>0. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng nắm rõ ràng.
Chọn đáp án B.
Bài 4. Bảng biến thiên dưới đây là của hàm số nào?
A. Y=4×4–3×2–6.
B. Y=2×4–4×2–5.
C. Y=–x4+2×2–5.
D. Y=x4–2×2–5.
phụ thuộc vào bảng biến thiên, đồ thị hàm số trùng phương có hệ số a>0 (loại C).
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm A(0;−5) (loại A).
Đồ thị hàm số đi qua điểm B(1;−6) (loại B).
Chọn đáp án D.
Bài 5. Cho hàm số có bảng biến thiên phía dưới. Hãy nắm rõ ràng công thức hàm số.
A. Y=13×3–2×2+3x+5.
B. Y=13×3–2×2+3x–5.
C. Y=–x3+2×2–x–5.
D. Y=–13×3+2×2–3x+5.
dựa vào bảng biến thiên, đồ thị hàm số bậc ba có hệ số a>0 (loại C và D).
Đồ thị cắt trục tung tại điểm A(0;−5) (loại A).
Chọn đáp án B.
Tổng kết
Hi vọng bài viết trên đây đã cung cấp chi tiết cách lập bảng biến thiên cho các bạn. Hãy cùng hua.edu.vn tìm hiểu thêm nhiều kiến thức học tập hữu ích khác nữa nhé!
Chúc các bạn một ngày tốt lành!
Nguồn: Tổng hợp
