Bạn đang xem bài viết: Trung điểm của đoạn thẳng là gì? 7 cách chứng minh trung điểm?
Table of Contents
Trung điểm của đoạn thẳng là gì?
Trung điểm của đoạn thẳng là điểm ở giữa đoạn thẳng, chia đoạn thẳng thành 2 đoạn thẳng bằng nhau. Trung điểm của đoạn thẳng được gọi là điểm chính giữa của đoạn thẳng.
Minh họa cụ thể: cho hai điểm A , C cùng năm trên một đường thẳng tạo thành đoạn thẳng AC. Điểm B nằm giữa A và C nếu như A , B và C là 3 điểm thẳng hàng theo đúng thứ tự đấy.
khi đó, B còn được nhắc đên là điểm chính giữa hay trung điểm của đoạn thẳng AC nếu B chia đoạn thẳng AC thành 2 đoạn thẳng AB và BC có độ dài bằng nhau.
Giả sử đoạn thẳng AC có độ dài 8 cm thì điểm B ở giữa A và C phải chia đoạn AC thành 2 đoạn thẳng AB = BC = 4 cm mới được cho là trung điểm của đoạn thẳng AC.
Xem thêm: Tình hình nước nga trước khi cách mạng bùng nổ 1917
Tính chất trung điểm của đoạn thẳng
Khi B là trung điểm của đoạn thẳng AC, ta có:
- B nằm giữa 2 điểm A và C
- Độ dài đoạn thẳng AB bằng độ dài đoạn thẳng BC hay AB = BC và AB + BC = AC
Từ đấy, ta suy ra cách vẽ trung điểm của đoạn thẳng như sau: Trên đoạn thẳng AC lấy điểm B sao cho AB = 1 / 2 AC . khi đó, B là trung điểm của AC.
Ví dụ: Trên tia Ox vẽ 2 điểm A và B sao cho OC = 3 cm, OB = 6 cm.
a) Điểm A có nằm giữa 2 điểm O và B không?
b) so sánh OA và AB.
c) Điểm A có là trung điểm của đoạn thẳng OB không? VÌ sao?
chỉ dẫn giải:
a) Trên tia Ox có: OA = 3 cm, OB = 6 cm => OA < OB
Mà hai điểm A và B cùng thuộc tia Ox tức là 3 điểm O , A và B thẳng hàng.
Vậy điểm A nằm giữa O và B.
b) Vì điểm A nằm giữa O và B nên:
OB = OA + AB => AB = OB – OA = 6 – 3 = 3 cm
=> OA = AB = 3 cm
c) Ta có:
A nằm giữa O và B
OA = AB = 3 cm
=> A là trung điểm của đoạn thẳng OB
Cách chứng minh trung điểm của đoạn thẳng?
Cách chứng minh trung điểm lớp 6 – chứng minh theo khái niệm
Để chứng minh điểm 𝑀 là trung điểm của đoạn thẳng 𝐴𝐵 thì ta cần chứng minh đồng thời 𝑀 nằm giữa 𝐴,𝐵 và 𝑀𝐴+𝑀𝐵
Ví dụ:
Cho đoạn thẳng 𝐴𝐵=8𝑐𝑚 có 𝑀 là trung điểm 𝐴𝐵. Trên 𝐴𝐵 lấy hai điểm 𝐶,𝐷 sao cho 𝐴𝐶=𝐵𝐷=3𝑐𝑚. Chứng minh 𝑀 là trung điểm 𝐶𝐷
Cách giải:
Vì 𝑀 là trung điểm 𝐴𝐵 nên 𝑀𝐴=𝑀𝐵=4𝑐𝑚
Vì 𝑀,𝐶 cùng phía với 𝐴 mà 𝐴𝑀>𝐴𝐶 nên 𝐶 nằm giữa 𝐴𝑀
⇒𝑀𝐶=𝑀𝐴−𝐶𝐴=1𝑐𝑚
Tương tự ta có 𝑀𝐷=1𝑐𝑚
Mặt khác : 𝐶𝐷=𝐴𝐵−𝐴𝐶−𝐵𝐷=2𝑐𝑚
Như vậy ta có :
{𝑀𝐶=𝑀𝐷=1𝑐𝑚𝑀𝐶+𝑀𝐷=𝐶𝐷
⇒𝑀 là trung điểm 𝐶𝐷
Cách chứng minh trung điểm lớp 7 – dựa vào các tính chất của tam giác
Để chứng minh theo cách này thì trước hết {chúng ta cần|chúng ta phải có} nắm vững các {phẩm chất|tính chất} {ảnh hưởng|liên quan} đến trung điểm trong tam giác.
Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 với 𝑀,𝑁,𝑃 lần lượt là trung điểm của 𝐵𝐶,𝐶𝐴,𝐴𝐵
Khi đó:
𝐴𝑀,𝐵𝑁,𝐶𝑃 lần lượt {còn được gọi là|còn được nhắc đên là|được gọi là} các đường trung tuyến của cạnh 𝐵𝐶,𝐶𝐴,𝐴𝐵 . 3 Đường trung tuyến đồng quy tại điểm 𝐺 {còn được gọi là|còn được nhắc đên là|được gọi là} {trọng điểm|trọng tâm} của tam giác 𝐴𝐵𝐶 . 3 Đoạn thẳng 𝑀𝑁,𝑁𝑃,𝑃𝑀 {còn được gọi là|còn được nhắc đên là|được gọi là} các đường trung bình của tam giác 𝐴𝐵𝐶
- {phẩm chất|tính chất} trọng tâm: {nếu|nếu như} 𝐺 là {trọng điểm|trọng tâm} tam giác 𝐴𝐵𝐶 thì 𝐴𝐺,𝐵𝐺,𝐶𝐺 lần lượt đi qua trung điểm của 𝐵𝐶,𝐶𝐴,𝐴𝐵 . {Cùng lúc đó|đồng thời} : 𝐴𝐺𝐴𝑀=𝐵𝐺𝐵𝑁=𝐶𝐺𝐶𝑃=23
- {phẩm chất|tính chất} đường trung bình: {nếu|nếu như} 𝑀𝑁 là đường trung bình của tam giác 𝐴𝐵𝐶 thì 𝑀𝑁 song song và bằng 12 cạnh đáy tương ứng.
Ví dụ:
Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 có 𝐴𝐵>𝐵𝐶 . 𝐵𝐸 là phân giác và 𝐵𝐷 là trung tuyến. Đường thẳng qua 𝐶 vuông góc với 𝐵𝐸 cắt 𝐵𝐸,𝐵𝐷,𝐵𝐴 lần lượt tại 𝐹,𝐺,𝐾 𝐷𝐹 cắt 𝐵𝐶 tại 𝑀. Chứng minh rằng: 𝑀 là trung điểm đoạn 𝐵𝐶
Cách giải:Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 với 𝑀,𝑁,𝑃 lần lượt là trung điểm của 𝐵𝐶,𝐶𝐴,𝐴𝐵
Khi đó:
𝐴𝑀,𝐵𝑁,𝐶𝑃 lần lượt {còn được gọi là|còn được nhắc đên là|được gọi là} các đường trung tuyến của cạnh 𝐵𝐶,𝐶𝐴,𝐴𝐵 . 3 Đường trung tuyến đồng quy tại điểm 𝐺 {còn được gọi là|còn được nhắc đên là|được gọi là} {trọng điểm|trọng tâm} của tam giác 𝐴𝐵𝐶 . 3 Đoạn thẳng 𝑀𝑁,𝑁𝑃,𝑃𝑀 {còn được gọi là|còn được nhắc đên là|được gọi là} các đường trung bình của tam giác 𝐴𝐵𝐶
- {phẩm chất|tính chất} trọng tâm: {nếu|nếu như} 𝐺 là {trọng điểm|trọng tâm} tam giác 𝐴𝐵𝐶 thì 𝐴𝐺,𝐵𝐺,𝐶𝐺 lần lượt đi qua trung điểm của 𝐵𝐶,𝐶𝐴,𝐴𝐵 . {Cùng lúc đó|đồng thời} : 𝐴𝐺𝐴𝑀=𝐵𝐺𝐵𝑁=𝐶𝐺𝐶𝑃=23
- {phẩm chất|tính chất} đường trung bình: {nếu|nếu như} 𝑀𝑁 là đường trung bình của tam giác 𝐴𝐵𝐶 thì 𝑀𝑁 song song và bằng 12 cạnh đáy tương ứng.
Ví dụ:
Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 có 𝐴𝐵>𝐵𝐶 . 𝐵𝐸 là phân giác và 𝐵𝐷 là trung tuyến. Đường thẳng qua 𝐶 vuông góc với 𝐵𝐸 cắt 𝐵𝐸,𝐵𝐷,𝐵𝐴 lần lượt tại 𝐹,𝐺,𝐾 𝐷𝐹 cắt 𝐵𝐶 tại 𝑀. Chứng minh rằng: 𝑀 là trung điểm đoạn 𝐵𝐶
Cách giải:
Xét Δ𝐵𝐶𝐾 có
𝐵𝐹 vừa là đường cao, vừa là phân giác nên Δ𝐵𝐶𝐾 cân tại 𝐵
⇒𝐵𝐶=𝐵𝐾 và 𝐵𝐹 là trung tuyến
⇒𝐶𝐹=𝐹𝐾.
Xét Δ𝐶𝐾𝐴 có
𝐶𝐹=𝐹𝐾;𝐶𝐷=𝐷𝐴 ⇒𝐹𝐷 là đường trung bình
⇒𝐹𝐷//𝐴𝐵⇔𝑀𝐷//𝐴𝐵
Mà 𝐶𝐷=𝐷𝐴 nên ⇒𝐶𝑀𝐶𝐵=𝐶𝐷𝐶𝐴=12
⇒𝑀 là trung điểm 𝐵𝐶.
Cách chứng minh trung điểm lớp 8 – dựa vào tính chất tứ giác đặc biệt
Trong {bước này|công đoạn này|phần này} {chúng ta|con người} sẽ {dùng|sử dụng} {một số|một vài} {phẩm chất|tính chất} trung điểm của các tứ giác {đặc biệt|đáng chú ý} như sau
- Đường trung bình hình thang
Cho hình thang 𝐴𝐵𝐶𝐷 hai đáy là 𝐴𝐵,𝐶𝐷. {Khi đó|lúc đó} 𝑀𝑁 {còn được gọi là|còn được nhắc đên là|được gọi là} đường trung bình của hình thang 𝐴𝐵𝐶𝐷⇔{𝑀𝑁∥𝐴𝐵𝑀𝑁=𝐴𝐵+𝐶𝐷2 và 𝑀,𝑁 là trung điểm của 𝐴𝐵,𝐵𝐶
- Đường chéo hình bình hành
AA
Cho hình bình hành 𝐴𝐵𝐶𝐷 với hai đường chéo 𝐴𝐶,𝐵𝐷 . {Khi đó|lúc đó} 𝐴𝐶 cắt 𝐵𝐷 tại trung điểm của {mỗi đoạn|từng đoạn}.
***Chú ý: Hình vuông, hình chữ nhật , hình thoi là các {hoàn cảnh|trường hợp} {đặc biệt|đáng chú ý} của hình bình hành nên cũng có {phẩm chất|tính chất} nêu trên
Ví dụ:
Cho hình bình hành 𝐴𝐵𝐶𝐷 với 𝐼 là giao điểm của 𝐴𝐶,𝐵𝐷. {Lấy|thu thập} 𝑀 là điểm bất kì {nằm ở trên|nằm trên} 𝐶𝐷 . 𝑀𝐼 cắt 𝐴𝐵tại 𝑁. Chứng minh rằng 𝐼 là trung điểm [/latex] MN [/latex]
Cách giải:
Cách chứng minh trung điểm lớp 9 – dựa vào các tính chất của đường tròn
Cho đường tròn tâm 𝑂 đường kính 𝐴𝐵. 𝑀𝑁 là một dây cung bất kì của đường tròn. {Khi đó|lúc đó}, {nếu|nếu như} 𝐴𝐵⊥𝑀𝑁⇒𝐴𝐵 đi qua trung điểm của 𝑀𝑁 và {ngược lại|trái lại} , {nếu|nếu như} 𝐴𝐵 đi qua trung điểm của 𝑀𝑁 thì 𝐴𝐵⊥𝑀𝑁
Ví dụ:
AAACho tam giác 𝐴𝐵𝐶 nhọn (𝐴𝐵<𝐴𝐶) nội tiếp đường tròn (𝑂) . Tiếp tuyến tại 𝐴 và 𝐵 của (𝑂) cắt nhau tại 𝑀. Kẻ cát tuyến 𝑀𝑃𝑄 của (𝑂) ( 𝑃 nằm giữa 𝑀 và 𝑄) song song với 𝐵𝐶 cắt 𝐴𝐶 tại 𝐸 . Chứng minh rằng 𝐸 là trung điểm 𝑃𝑄
Cách giải:
Vì 𝑀𝐴,𝑀𝐵 là các tiếp tuyến kẻ từ 𝑀 của đường tròn (𝑂) nên ⇒𝑀𝐴=𝑀𝐵
Xét Δ𝑀𝐴𝑂 và Δ𝑀𝐵𝑂 có
𝑀𝐴=𝑀𝐵 ( chứng minh trên )
𝑀𝑂 chung
𝑂𝐴=𝑂𝐵 ( bán kính (𝑂) )
Vậy ⇒Δ𝑀𝐴𝑂=Δ𝑀𝐵𝑂 ( cạnh – cạnh – cạnh )
⇒𝑀𝑂𝐴ˆ=𝑀𝑂𝐵ˆ
⇒𝑀𝑂𝐴ˆ=𝐴𝑂𝐵ˆ2(1)
Vì 𝑃𝑄∥𝐵𝐶⇒𝑀𝐸𝐴ˆ=𝐵𝐶𝐴ˆ ( đồng vị )
Mà 𝐵𝐶𝐴ˆ=𝐴𝑂𝐵ˆ2⇒𝑀𝐸𝐴ˆ=𝐴𝑂𝐵ˆ2(2)
Từ (1)(2)⇒𝑀𝐸𝐴ˆ=𝑀𝑂𝐴ˆ
⇒ tứ giác 𝑀𝑂𝐸𝐴 nội tiếp
⇒𝑀𝐸𝑂ˆ=𝑀𝐴𝑂ˆ=90∘ ( do 𝑀𝐴 là tiếp tuyến )
⇒𝐸𝑂 vuông góc với dây cung 𝑃𝑄
⇒𝐸 là trung điểm 𝑃𝑄
Cách chứng minh trung điểm dựa vào tính chất đối xứng
Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng d {nếu|nếu như} d là đường trung trực của AB. {Khi đó|lúc đó} AB vuông góc d và d đi qua trung điểm của AB.
Tổng kết
Hi vọng bài viết trên đây đã cung cấp chi tiết cách chứng minh trung điểm cho các bạn. Hãy cùng hua.edu.vn tìm hiểu thêm nhiều kiến thức học tập hữu ích khác nữa nhé!
Chúc các bạn một ngày tốt lành!
Nguồn: Tổng hợp
